S24計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-28(新規)

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問題文のポイントは、「フリーボディダイアグラム」と「両端支持ばり」です。

問題文では明示されてませんが、「釣り合い」が大事な概念です。二次元ですから、鉛直方向、水平方向及び回転の3つの釣り合いが満足されます。この問題は水平力が有りませんので、式は二つで済みます。ちゃんと式を2つ立てると正しく解けるのは分ってますが、少しでも短時間で解きたくなります。

4つの選択肢を全部眺めますと、選択肢④だけが左右両端にモーメントの記号が描いて有ります。しかし、問題文では、「両端支持ばり」でした。この用語は知らないと「支持」という単語が持つ重要な意味が分からないと思います。「支持」とはモーメントを伝えないという意味なのです。それは問題文の図を見ても分ります。三角形の支点の頂点に接するように梁が乗っているのがその証拠です。

選択肢④は左右両端でモーメントが掛かっているように描いて有りますので、間違いです。

では残り3つの選択肢を見てみましょう。問題文の図より、支持点は左右が対称です。しかし、荷重点は、AB:BC=1:2です。選択肢①は反力が左右均等になっていますが、それは有り得ません。選択肢②は反力の比がA:C =2:1で、選択肢③は反力比がA:C=1:2です。常識的に考えて荷重点はAよりなので、Aの反力はCの反力より大きくなる筈です。従って回答は②です。

解説を読んだ上での考察:

解説では、A点回りのモーメントの釣合いを考えていますが、B点回りのモーメントの釣合いを考える事も可能です。モーメントの釣合いの中心点は任意の位置の取っても良いからです。すると、

RAxℓ/3 = RCx2ℓ/3

が成り立ちます。この式にはFを含みませんので、両辺に3/ℓを掛けると、

RA = 2RC

が得られます。選択肢の中から正解を決めるのにはこれで十分です。

 

S23計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-27(新規)

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問題文のポイントは、「フリーボディダイアグラム」と「仮想的に切断し」です。

問題文では明示されてませんが、「釣り合い」が大事な概念です。二次元ですから、鉛直方向、水平方向及び回転の3つの釣り合いが満足されます。又、「釣り合いは着目した物体について考える」事が肝要です。今回「着目した物体」は支点であり、大きさを持たない(下で訂正しているので注意)ので、回転の釣り合いを考慮する必要は有りません。従って導ける式は2つです。

先ず鉛直方向の釣り合いを考えます。問題文の図には30°と60°と書いて有りますが、どうみても30°と60°では有りませんね。どこに書いて有ったか忘れましたが、図はなるべく寸法に中実に描く事という教訓が有りましたね。この問題は謂わば、誤解させたくてわざと、角度を不正確に描いていると思います。

手早く式を書くには、三角関数を一旦書いたりしない方が良いと思います。兎に角図を描きます。先ずはS1の鉛直成分を考えます。天井に向かって正とします。30°ですから、図2-27-1のように描きます。

2-27_S1_Vertical

図2-27-1 S1の鉛直成分

従ってS1の係数は1/2。次にS2の成分を図2-27-2に示します。

2-27S2_Vertical

図2-27-2 S1の鉛直成分

従ってS2の係数は、(3)1/2/2。Pは鉛直下向きですので、その係数は-1となります。釣り合い式は全部を足して零ですから、

(1/2)S1+((3)1/2/2)S2-P=0   (2-27-1)

偶々ですが、鉛直成分を先に考えた為、選択肢は④一つに絞られました。回答は④です。

でも一応水平成分も考えておきましょう。水平は右向きを正とします。先ずはS1の水平成分を考えます。図2-27-1を使って考えましょう。係数は-(3)1/2/2ですね。次にS2の成分を図2-27-2を使って考えます。係数は1/2ですね。Pは水平成分は零ですので、項としては現れません。従って釣り合い式は、

-((3)1/2/2)S1+(1/2)S2=0   (2-27-2)

この式は選択肢④の式ですので、回答は④で間違いありません。

解説を読んだ上での考察:

私の勘違いが有りました。上で、

「今回「着目した物体」は支点であり、大きさを持たないので、回転の釣り合いを考慮する必要は有りません。」

と書きましたが、問題に示された図を見ると、仮想切断線は支点から離れていますので、「着目した物体」は、支点から仮想切断線迄の部材を含んでいます。従って大きさを持ちます。

解説に示されているように「ピン結合されているのでモーメントは生じない為、力のモーメントの釣合い式は不要である。」と理解すべきですね。

S22計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-19(新規)

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問題文のポイントは、「主応力」と「正しいものはどれか」です。

3次元の主応力の公式は公式集に掲載されているだろうと思い、直ぐに探しに行きました。有りました。2.3.3の主応力の式に既知の応力成分を代入して行きます。

3+(σxyz2-(σyσzzσxxσyxy2yz2zx2)σ+σxσyσzxτyz2yτzx2zτxy2+2τxyτyzτzx=0  (2.3.3)

与えられた数値を代入します。

3+(0+0+0)σ2-(0+0+0-1-1-1)σ+0-0-0-0+2x1x1x1=0

3+3σ+2=0

σ3-3σ-2=0   (2-19-1)

因数分解したい所ですが、思い付きません。

考え方を変えて、選択肢①からσに代入して行きます。

先ずは選択肢①のσ1=3

33-3×3-2=27-9-2=16≠0

駄目です。

選択肢②のσ1=2

23-3×2-2=8-6-2=0

これは解です。

同じくσ23=-1も確認します。

(-1)3-3x(-1)-2=-1+3-2=0

こちらも解です。

よって②が正解。三次式の場合、解は高々3個なので、他の選択肢は確認不要です。

解説を読んだ上での考察:

解説ではあっさり因数分解してます。3次式の因数分解ってどうやってやるんだろうと思いました。

ネットで検索したら、「因数定理」という物が有るようです。その昔勉強したんでしょうね。因数分解がさっと出来れば、全部の選択肢を試さなくても良い分、私の計算方法より若干早そうです。

因数定理をネットで調べて見ました。以下に分り易い説明が有ります。

http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/factor.htm

ポイントは、xの多項式 f(x)に対して、f(a)=0 を満たすaが存在すればf(x)は(x-a)を因数に持つ。更にaの候補は定数項の約数である。

今式(2-19-1)に於いて定数項は、-2ですから、1,2,-1,-2が候補です。選択肢②で示したように、2を代入すると式が零になりますから、(σ-2)の因数が有ります。

(2-19-1)の左辺を変形して、無理やり(σ-2)を作ります。

σ3-3σ-2 = (σ-2)σ2+2σ2-3σ-2= (σ-2)σ2+2σ2-4σ+σ-2=(σ-2)σ2+2σ(σ-2)+(σ-2)=(σ-2)(σ2+2σ+1)

此処迄来れば、後は簡単な2次式の因数分解だけです。

(σ-2)(σ2+2σ+1)=(σ-2)(σ+1)2=0   (2-19-2)

本当に速いかどうかは微妙ですが、純粋な暗記に頼らない色んな手法を知っておく事は大事です。