カテゴリー別アーカイブ: 固体2級4章

S75計算力学固体2級標準問題集第9版調査_4章解説索引

4章の問題と解説の索引です。第8版は関係有りません。

項目 ページ
3節点三角形要素 44
3節点三角形要素 195
3節点三角形要素 196
4節点四面体要素 196
Bマトリックス 195
Complementary Energy 192
Dマトリックス 195
FEM 36
FEM 189
Galerkin 189
Gauss-Seidel 189
Hooke 192
Method of weighted residual 189
Potential Energy 192
Rayleigh-Ritz 189
一次微分 44
一次要素 43
エネルギー原理 39
エネルギー原理 192
エネルギー原理 193
エネルギー方程式 42
応力-歪関係 191
応力-歪関係 192
応力-歪関係式 41
応力-歪関係式 42
応力-歪関係式 46
応力-歪関係式 193
応力-歪関係式 196
応力-歪曲線 191
応力-歪マトリックス 42
応力-歪マトリックス 45
応力-歪マトリックス 46
応力-歪マトリックス 195
応力-歪マトリックス 196
応力-歪マトリックス 196
応力ベクトル 196
応力法 39
応力法 192
重み 36
重み 189
重み関数 42
重み関数 189
重み関数 190
重み関数 194
重み付き残差法 36
重み付き残差法 42
重み付き残差法 189
重み付き残差法 190
重み付き残差法 193
重み付き残差法 194
外力 40
外力 193
ガウス・ザイデル法 36
ガウス・ザイデル法 189
加工硬化係数 196
荷重-変位線図 191
荷重境界条件 196
荷重の釣合い式 40
荷重ベクトル 49
荷重ベクトル 196
仮想応力 192
仮想仕事の原理 39
仮想仕事の原理 40
仮想仕事の原理 41
仮想仕事の原理 42
仮想仕事の原理 192
仮想仕事の原理 193
仮想仕事の原理 194
仮想歪 42
仮想歪 192
仮想歪 193
仮想表面力 192
仮想変位 40
仮想変位 41
仮想変位 42
仮想変位 193
仮想変位 194
ガラーキン法 36
ガラーキン法 189
ガラーキン有限要素法 190
幾何学的境界条件 49
幾何学的境界条件 196
既知 49
既知 196
境界条件 189
境界条件 193
境界条件-拘束 49
境界条件-表面力 41
境界条件-表面力 49
境界条件-変位 41
境界条件-変位 42
強形式 36
強形式 190
強制変位 37
強制変位 190
強制変位 191
近似解 36
近似解 39
近似解 189
近似解 192
近似関数 189
近似方程式 36
近似方程式 189
形状関数 43
形状関数 44
形状関数 45
形状関数 190
形状関数 194
形状関数 195
形状関数 196
厳密解 189
格子 189
格子点 189
剛性 191
構成方程式 42
剛性方程式 47
剛性方程式 195
剛性方程式 196
剛性方程式 196
剛性マトリックス 44
剛性マトリックス 48
剛性マトリックス 193
剛性マトリックス 195
剛性マトリックス 196
剛性マトリックス 196
構造問題 48
構造問題 49
剛体変形 196
降伏応力 45
降伏応力 196
誤差 36
コンプリメンタリエネルギー 38
コンプリメンタリエネルギー 192
最小コンプリメンタリエネルギーの原理 192
最小ポテンシャルエネルギーの原理 39
最小ポテンシャルエネルギーの原理 192
最小ポテンシャルエネルギーの原理 193
最小ポテンシャルエネルギーの原理 36
材料定数 45
材料定数 196
座標関数 189
差分法 36
差分法 189
三角形要素 50
三角形要素 194
残差 189
残差 194
試験関数 189
仕事-応力のなす 193
仕事-外力のなす 193
仕事-体積力のなす 42
仕事-体積力のなす 193
仕事-内力のなす 193
仕事-表面力のなす 42
仕事-表面力のなす 193
質量保存式 42
支配方程式 36
支配方程式 189
支配方程式 195
支配方程式 196
四面体 196
四面体要素 50
弱形式 190
重心 50
重心-三角形 196
重心-四面体 196
収束 196
自由度 48
自由度 50
初期応力 42
初期歪 42
初期歪 193
垂直歪 44
正規化局所座標 194
正規化局所座標 195
静的線形弾性問題 42
積分 44
積分方程式 189
節点物理量 194
節点変位 39
節点変位 43
節点変位 192
節点変位 194
節点変位 196
節点変位ベクトル 195
節点力 196
線形三角形要素 45
線形三角形要素 195
線形弾性体 38
線形弾性体 192
線形弾性問題 191
線形弾性問題 192
全体座標系 194
全体座標系 195
剪断歪 44
塑性状態 196
ソリッド要素 44
対角項 48
対角項 196
対称-剛性マトリックス 196
対称-マトリックス 48
体積座標 50
体積座標 196
体積中心 50
体積力 41
体積力 193
縦弾性係数 37
縦弾性係数 40
縦弾性係数 45
縦弾性係数 46
縦弾性係数 191
縦弾性係数 192
縦弾性係数 196
縦弾性係数 196
単軸引張 191
弾性係数 196
弾性問題 193
弾塑性解析 196
力の釣合い式 193
釣合い 190
釣合い式 192
釣合い状態 40
釣合い状態 193
釣合い方程式 41
釣合い方程式 42
釣合い方程式 193
釣合い方程式 194
定式化 36
定式化 39
定式化 189
定歪要素 195
電磁場問題 189
等価節点力ベクトル 49
等価節点力 39
等価節点力 42
等価節点力 192
等価節点力 193
等価節点力ベクトル 196
等方弾性体 45
等方弾性体 46
等方弾性体 196
トラス構造 40
トラス構造 50
内挿 194
内挿補間 195
内力 40
内力 193
二次元弾性問題 38
二次元弾性問題 44
二次元弾性問題 45
二次元弾性問題 46
熱伝導問題 189
熱伝導問題 190
熱流束 42
発熱率 189
ばね 192
ばね系 49
ばね係数 196
ばね定数 39
汎関数 36
汎関数 189
微小変形問題 194
歪-変位関係式 41
歪-変位関係式 42
歪-変位関係式 193
歪-変位関係式 195
歪-変位マトリックス 42
歪-変位マトリックス 44
歪-変位マトリックス 45
歪-変位マトリックス 194
歪-変位マトリックス 195
歪エネルギー 37
歪エネルギー 38
歪エネルギー 40
歪エネルギー 190
歪エネルギー 191
歪増分 193
歪ベクトル 195
非零成分 48
非線形弾性体 38
非線形弾性体 192
非対角項 196
非対称-マトリックス 48
非定常熱伝導問題 189
微分方程式 36
微分方程式 39
表面力 42
表面力 194
表面力境界条件の境界 194
表面力指定境界 193
部材 40
フックの法則 42
フックの法則 190
フックの法則 191
フックの法則 192
部分積分 36
部分積分 190
部分積分 194
平面応力 196
平面応力状態 46
平面応力状態 196
平面歪 46
平面歪 196
平面歪 196
変位 44
変位-節点 195
変位-要素内 195
変位関数 194
変位境界条件 196
変位ベクトル 45
変位ベクトル 49
変位ベクトル 50
変位ベクトル 196
変位法 39
変位法 192
偏微分方程式 36
偏微分方程式 189
変分 39
変分 189
変分 192
変分原理 36
変分原理 189
ポアソン比 45
ポアソン比 46
ポアソン比 196
方向余弦 194
補仮想仕事の原理 39
補仮想仕事の原理 192
補間 194
ポテンシャルエネルギー 38
ポテンシャルエネルギー 39
ポテンシャルエネルギー 40
ポテンシャルエネルギー 189
ポテンシャルエネルギー 192
ポテンシャルエネルギー 193
マトリックス代数 39
マトリックス代数 192
未知 196
未知関数 189
未知数 39
未知数 50
メモリ容量 36
面積座標 50
面積座標 196
有限要素法 36
有限要素法 39
有限要素法 48
有限要素法 189
有限要素法 192
要素 43
要素剛性方程式 196
要素剛性マトリックス 49
要素剛性マトリックス 195
力学的境界条件 49
力学的境界条件 196
離散化 36
離散化 189
離散化 192
離散化解析 189
領域 36
レイリー・リッツ法 36
レイリー・リッツ法 189
連続体 36
連続体 39
連続体 189
連続体 192
連続体力学 189
連立一次方程式 39
連立一次方程式 189
連立一次方程式 192
連立方程式 189

S68計算力学固体2級標準問題集第9版調査_4章問題索引

4章の問題の索引です。第8版は関係有りません。

この章に参考となる書籍を紹介します。

(1)「<解析塾秘伝>有限要素法のつくり方! -FEMプログラミングの手順とノウハウ-」石川博幸,青木伸輔,日比学,2014,日刊工業新聞社.

(2)「計算力学 有限要素法の基礎(第2版)」竹内則雄,樫山和男,寺田賢二郎,2012,森北出版.

項目 ページ 参考書籍での扱いページ
3節点三角形要素 44
FEM 36 (2)4
一次微分 44
一次要素 43
エネルギー原理 39
エネルギー方程式 42
応力-歪関係式 41 (2)123
応力-歪関係式 42 (2)123
応力-歪関係式 46 (2)123
応力-歪マトリックス 42 (1)3
応力-歪マトリックス 45 (1)3
応力-歪マトリックス 46 (1)3
応力法 39
重み 36
重み関数 42 (2)74
重み付き残差法 36 (2)74
重み付き残差法 42 (2)74
外力 40
ガウス・ザイデル法 36 (2)208
荷重の釣合い式 40
荷重ベクトル 49 (2)54,63
仮想仕事の原理 39
仮想仕事の原理 40
仮想仕事の原理 41
仮想仕事の原理 42
仮想歪 42
仮想変位 40
仮想変位 41
仮想変位 42
ガラーキン法 36 (2)76,156
幾何学的境界条件 49 (2)35,124
既知 49
境界条件-拘束 49
境界条件-表面力 41
境界条件-表面力 49
境界条件-変位 41
境界条件-変位 42
強形式 36 (2)80
強制変位 37
近似解 36 (2)70
近似解 39 (2)70
近似方程式 36
形状関数 43 (1)18,19,113,117,142,(2)87,107,131,218
形状関数 44 (1)18,19,113,117,142,(2)87,107,131,218
形状関数 45 (1)18,19,113,117,142,(2)87,107,131,218
構成方程式 42 (1)8(構成式)
剛性方程式 47 (2)54
剛性マトリックス 44
剛性マトリックス 48
構造問題 48
構造問題 49
降伏応力 45
誤差 36
コンプリメンタリエネルギー 38
最小ポテンシャルエネルギーの原理 39
最小ポテンシャルエネルギーの原理 36
材料定数 45
差分法 36 (2)4,5,150
三角形要素 50
仕事-体積力のなす 42
仕事-表面力のなす 42
質量保存式 42 (2)28(質量保存則)
支配方程式 36
四面体要素 50
重心 50
自由度 48 (1)32,(2)48
自由度 50 (1)32,(2)48
初期応力 42
初期歪 42
垂直歪 44
静的線形弾性問題 42
積分 44
節点変位 39
節点変位 43
線形三角形要素 45 (2)130
線形弾性体 38
剪断歪 44 (2)32
ソリッド要素 44
対角項 48 (2)14
対称-マトリックス 48 (2)15(対称行列)
体積座標 50
体積中心 50
体積力 41
縦弾性係数 37
縦弾性係数 40
縦弾性係数 45
縦弾性係数 46
釣合い状態 40
釣合い方程式 41 (2)31
釣合い方程式 42 (2)31
定式化 36
定式化 39
等価節点力ベクトル 49
等価節点力 39 (1)176,(2)136
等価節点力 42 (1)176,(2)136
等方弾性体 45 (2)32
等方弾性体 46 (2)32
トラス構造 40 (2)56
トラス構造 50 (2)56
内力 40
二次元弾性問題 38
二次元弾性問題 44
二次元弾性問題 45
二次元弾性問題 46
熱流束 42 (2)37
ばね系 49
ばね定数 39 (2)47
汎関数 36
歪-変位関係式 41 (2)123
歪-変位関係式 42 (2)123
歪-変位マトリックス 42
歪-変位マトリックス 44
歪-変位マトリックス 45
歪エネルギー 37
歪エネルギー 38
歪エネルギー 40
非零成分 48
非線形弾性体 38
非対称-マトリックス 48
微分方程式 36
微分方程式 39
表面力 42 (1)176,(2)35,123,124
部材 40 (2)47
フックの法則 42
部分積分 36
平面応力状態 46 (1)11,94,160,217(平面応力)(2)33,123
平面歪 46 (1)11,94,160,219,(2)34,123
変位 44 (2)47
変位ベクトル 45 (2)54
変位ベクトル 49 (2)54
変位ベクトル 50 (2)54
変位法 39 (2)50,56,129
偏微分方程式 36
変分 39
変分原理 36
ポアソン比 45 (1)9,14,33,160,(2)33,124
ポアソン比 46 (1)9,14,33,160,(2)33,124
補仮想仕事の原理 39
ポテンシャルエネルギー 38
ポテンシャルエネルギー 39
ポテンシャルエネルギー 40
マトリックス代数 39
未知数 39
未知数 50
メモリ容量 36
面積座標 50 (2)157
有限要素法 36 (2)4,6,87,150
有限要素法 39 (2)4,6,87,150
有限要素法 48 (2)4,6,87,150
要素 43 (1)2,(2)6,11,87,104
要素剛性マトリックス 49 (1)6,48,108,128,140,154,(2)134(要素剛性行列)
力学的境界条件 49 (2)35,125
離散化 36 (2)4,74
領域 36
レイリー・リッツ法 36
連続体 36
連続体 39
連立一次方程式 39

S57計算力学固体2級標準問題集第9版調査_4章解説比較

4章の解説を比較します。

第8版 第9版 第8版解説 第9版解説
4-1 4-1 (3刷) 全く同じ
4-2 4-2問題文一部削除 (3刷) 全く同じ
4-3(新規)重み付き残差法
4-3 4-4一部字句訂正 (3刷) 全く同じ
4-4 4-5 (3刷) 全く同じ
4-5 4-6 (3刷) 全く同じ
4-6 4-7 (3刷) 以下位置を変更。

δΠ=dΠ/du=ku – f= 0

を「その変分は、」の前の行から後の行に移動。

δ2Π= d2Π/du2= k>0

を「となり、δΠ=0を満たすuがポテンシャルエネル」の後の行から前の行に移動。

理由:編集上の誤りの訂正

4-7 4-8 (3刷) 全く同じ
4-8 4-9ヤング係数->縦弾性係数 (3刷) 全く同じ
4-9 4-10 (3刷) 全く同じ
4-10 4-11変位-ひずみ関係式->ひずみ-変位関係式。ひずみ-応力関係式->応力-ひずみ関係式。 (3刷) 以下変更

「ひずみ-応力関係式」->「応力-ひずみ関係式」

4-11 4-12 (3刷) 全く同じ
4-12 4-13 (3刷) {δu}Tを積分の中から外に出す式変形追記。

積分を[K]マトリックスや力ベクトル{fε0}、{fσ0}で置き換える式追記。

[K]、{fε0}、{fσ0}の定義説明追記。

4-13 4-14つりあい->釣合い (3刷) 以下変更

「仮想仕事の原理」の太字->標準字

「つりあい」->「釣合い」

「領域Ωについての一重積分」->「体積Vについての三重積分」

「τij」->「σx、σy、σz、τyz、τzx、τxy」

「εij」->「εx、εy、εz、γyz、γzx、γxy」

「Fi物体力ベクトル」->「\(\overline{X},\overline{Y},\overline{Z}\)体積力」

「領域Γtについての一重積分」->「表面力指定境界Sσについての二重積分」

「δui」->「δu,δv,δw」

「\(\hat{t}\)i」->「\(\overline{X}_V,\overline{Y}_V,\overline{Z}_V\)」

「表面力ベクトル」->「表面力」

「δuiは変位指定境界条件を満足する任意の仮想変位」->「仮想変位δu,δv,δw」

以下削除。

「途中の経過は省略するが(問1-10(削除された)解答・解説参照)、部分積分(ガウス・グリーン(Gauss-Green)の定理)を用いると上式は次のように書き直す事が出来る。」

以下8版問1-10からの変更

「δεij=(δui,j + δuj,i)/2」->「δεx=∂δu/∂x, δεy=∂δv/∂y, δεz=∂δw/∂z, δγyz=∂δw/∂y+∂δv/∂z,δγzx=∂δu/∂z+∂δw/∂x,δγxy=∂δv/∂x+∂δu/∂y」

「表面力と応力テンソルの関係」->削除

「仮想仕事の原理の左辺にガウス・グリーンの公式を適用し、上の関係を適用すると以下のようになる。式は略。これを仮想仕事の原理へ代入し、境界ΓはΓuとΓtに分れる事に注意して整理すると次式となる。式は略。仮想変位の定義より変位が与えられているΓuでは仮想変位δui=0となるので(式略)。」->「ここで部分積分を用いると、(仮想仕事の原理の左辺第1項の各項に適用、式は略)、但しl,m,nは方向余弦であり、dydz=±ℓdS等の関係式を用いている。ここで、公式集2.3.1項より、表面力は、Xv=σxℓ+τxym+τzxn等。表面Sは、Sσと変位境界条件を与える境界Suに分れ、仮想変位をSu上でδu=0,δv=0,δw=0となるように選び、仮想仕事の原理の式を整理すると、(式略)。」

「尚、仮想仕事の原理は、材料の応力-ひずみ関係式に無関係に成立する事に注意されたい」->「上式は、「釣合い方程式の領域V内での残差と、表面力境界の境界Sσ上での残差について、仮想変位を重み関数として用いて、重み付き残差法を適用している」事に他ならない。即ち正解は①。」

 4-14 4-15 (-)  全く同じ
4-15 4-16 (-) 全く同じ
4-17 4-17 (-) 全く同じ
4-18 4-18 (-) 以下変更

「変位関数」->「形状関数」

「正規化座標系」->「正規化局所座標系」

4-19 4-19 (-) 全く同じ
4-20 4-20但書追記 (-) 節点毎の変位成分定義を説明した図を追加
4-21 4-21 (-)「応力・ひずみ関係」 「応力-ひずみ関係」
4-22 4-22 1箇所説明追記。1箇所用語変更 (-) 全く同じ
4-23 4-23 (-) 全く同じ
4-24 4-24 (-) 全く同じ
4-26 4-25 (-)ヤング率 縦弾性係数
4-28 4-26 (-) 全く同じ
4-29 4-27選択肢②文末変更、選択肢③は完全に別物。 (-) 以下追記

要素分割を細かくしていった場合に正解へ収束する為の条件として、要素は剛体変形を表現する事が出来、かつ剛体変形を受ける時要素内に歪を生じないと言う条件が有る。この場合、要素内歪が零より応力が零となり、節点力が零と成る。

以下削除(「剛体変形を」の前)

この式は、 節点iに繋がる全ての等価なバネから節点iに作用する力の合計が、節点に作用する外力fiと等しい事を示している。

4-25選択肢に誤りが有った。正解無し。 4-28全選択肢微修正。意図は誤記訂正。 (-)③ ②(誤記訂正)
4-31 4-29選択肢③で追記2箇所。文意を明らかにする為。 (-)  以下変更

「力学的境界条件」->「荷重境界条件(力学的境界条件)」

「幾何学的境界条件」->「変位境界条件(幾何学的境界条件)」

以下追記

「既知の境界条件は」->「既知の境界に与える条件は」

4-30 4-30 (-)  全く同じ
4-31(新規)面積座標,体積座標
4-16(形状関数) 削除
4-27 4-29と共に4-27に統合(8/13修正)
4-32(近似誤差) 削除

 

S29計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問4-31(新規)

1分半掛かりました。

ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「面積座標」、「体積座標」及び「正しいものはどれか」です。

選択肢を上から順に見て行きます。

当たり前ですが、正しい物は1つだけです。

選択肢①は「対応する面積座標は0」と「その他の2個の面積座標は1」が間違っていると思います。勿論きっちり記憶していれば済む話ですが、大抵は記憶力に100%の自信は有りません。2箇所において値が1で、対応する節点で値が0というのは、実に変です。

選択肢②ですが、面積座標は規格化されていたと思います。全て加えると面積その物では無く、1になると思います。なので間違いです。

選択肢③ですが、体積座標が全部足して1との事で、②と比較しても正しいと思われます。

ここで決まってしまったような物ですが、選択肢④も見てみます。これは正直言って正しいかどうか判断が付きませんでした。しかしもしこれが正しいとすると、正しい選択肢が2個になってしまいます。選択肢③の方がより確からしいと思いますので、回答は選択肢③とします。

解説を読んだ上での考察:

やはり面積座標も体積座標も規格化されています。

試験として出題される場合は、採点するという性格上実務に必要な知識という観点では無く、何が正しく、何が間違っているという判断力が重視されます。

従って異なる手法の特徴を比較した纏めの表を作ると良いと思います。

重心についてですが、重心の底辺又は底面からの高さがそれぞれ面積座標と体積座標の値に成るのですね。重心の座標は、頂点の数で割って平均を取る事を覚えていれば大丈夫ですね。

S28計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問4-3(新規)

3章には新規問題は有りませんでしたので、4章に進みます。

約1分掛かりました。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「重み付き残差法」及び「正しいもの」です。

重み付き残差法について100%確実に覚えているという自信は有りませんが、大体は覚えている積りです。

選択肢を上から順に見て行きます。

当たり前ですが、正しい物は1つだけです。

選択肢①は「最少ポテンシャルエネルギーの原理」が間違っていると思います。選択肢②は「汎関数」が間違っていると思います。選択肢③は良さそうです。「微分方程式」が不要な訳が無いですから。選択肢④は途中まで凄く良さそうです。しかし最後の1節が駄目ですね。強形式では有りません。

回答は選択肢③です。

解説を読んだ上での考察:

解説で重要な点は、「重み付き残差法は、微分方程式に直接取り組むものであり、固体力学以外の分野等で変分原理が成立しない問題に対しても適用可能である」だと思います。

試験として出題される場合は、採点するという性格上実務に必要な知識という観点では無く、何が正しく、何が間違っているという判断力が重視されます。

従って異なる手法の特徴を比較した纏めの表を作ると良いと思います。

S07計算力学固体2級標準問題集第9版調査_4章問題比較

4章の問題を比較します。比較対象は、第8版。

(8/13追記)新たに2個の問題が追加されました。
(8/13追記)旧4章の問題が2個削除されました。
(8/13追記)旧4-27と旧4-29が4-27に統合されました。
(8/29修正)釣り合い->釣合い

第8版 第9版
4-1 4-1
4-2 4-2問題文一部削除
4-3(新規)重み付き残差法
4-3 4-4一部字句訂正
4-4 4-5
4-5 4-6
4-6 4-7
4-7 4-8
4-8 4-9ヤング係数->縦弾性係数
4-9 4-10
4-10 4-11変位-ひずみ関係式->ひずみ-変位関係式。ひずみ-応力関係式->応力-ひずみ関係式。
4-11 4-12
4-12 4-13
4-13 4-14つりあい->釣合い
 4-14 4-15
4-15 4-16
4-17 4-17
4-18 4-18
4-19 4-19
4-20 4-20但書追記
4-21 4-21
4-22 4-22 1箇所説明追記。1箇所用語変更
4-23 4-23
4-24 4-24
4-26 4-25
4-28 4-26
4-29 4-27選択肢②文末変更、選択肢③は完全に別物。
4-25選択肢に誤りが有った。正解無し。 4-28全選択肢微修正。意図は誤記訂正。
4-31 4-29選択肢③で追記2箇所。文意を明らかにする為。
4-30 4-30
4-31(新規)面積座標,体積座標
4-16(形状関数) 削除
4-27 4-29と共に4-27に統合(8/13修正)
4-32(近似誤差) 削除