S74計算力学固体2級標準問題集第9版調査_2章0.2%耐力

問2-5の0.2%耐力について調査をしました。

標準問題集第9版の解説では

アルミニウム合金、銅合金などでは、明確な降伏点を示さず、図のような応力-歪曲線となる。この場合、一定の永久歪(例えば0.2%)が生じる応力F:耐力(0.2%耐力)を降伏点の代わりに用いる。

(1)「演習形式 材料力学入門」,寺崎俊夫,1992,共立出版.

耐力(proof stress) (0.2%) σ0.2 塑性歪εpが0.2%になる応力のことで、降伏点を明瞭に示さない材料の降伏強さとして使用される。

(2)「塾長秘伝 有限要素法の学び方!―設計現場に必要なCAEの基礎知識」,CAE懇話会関西解析塾テキスト編集グループ,2011,日刊工業新聞社.p138

アルミのように明確な降伏応力が表れない場合は、降伏応力の代わりに0.2%耐力(荷重を除いた時の永久歪が0.2%となるときの応力)を用いる事が多い。

(3)「理論と実務がつながる 実践有限要素法シミュレーション―汎用コードで正しい結果を得るための実践的知識」泉聡志,酒井信介,2010,森北出版.

アルミニウム合金やクロムモリブデン鋼は、図B.4のように明確な降伏点を示さない。その場合、塑性ひずみが0.002となった場合の応力(0.2%耐力)を降伏応力として用いる。

(4)「強度設計のミスをなくす CAEのための材料力学」遠田治正,2015,日刊工業新聞社.

弾性域と塑性域の境目は、ごく少数の材料以外では明確に分からない。それだと設計に困る事も有るので、工業的には境目を「0.2%塑性歪発生応力」と定義し、これを耐力σyと呼んでいる。耐力の値を求めるには、わざわざ除荷する必要は無く、引張力を負荷し続けて応力-歪線図を描かせた後、0.2%塑性歪の位置から弾性域の直線に平行な直線を引いて、交点の応力を求めれば良い。

耐力σy = 0.2%塑性歪発生荷重/初期断面積

(5)「図解 設計技術者のための有限要素法はじめの一歩 」栗崎彰,2012,講談社.pp65-66.

よって、非鉄金属材料のように降伏点を持たない材料の降伏点は、永久歪が0.2%(0.002)になる部分を降伏点として、強度検討の基準応力とします。

樹脂材料も降伏点が有りません。よって0.2%の永久歪を降伏点とするのは、非鉄金属材料と同様です。

(6)Wikipedia英語版Yieldの項

Offset yield point (proof stress)
When a yield point is not easily defined based on the shape of the stress-strain curve an offset yield point is arbitrarily defined. The value for this is commonly set at 0.1 or 0.2% plastic strain. The offset value is given as a subscript, e.g., Rp0.2=310 MPa. High strength steel and aluminum alloys do not exhibit a yield point, so this offset yield point is used on these materials.

オフセット降伏点(耐力)
降伏点を容易に応力 – ひずみ曲線の形状に基づいて定義されていない時に、オフセット降伏点は、任意に定義されています。この値は、一般的に0.1または0.2%の塑性ひずみに設定されている。オフセット値は、下付き文字として指定され、例えば、Rp0.2=310 MPaである。高強度鋼及びアルミニウム合金は、降伏点を示さないので、このオフセット降伏点は、これらの材料に使用されている。

S69計算力学固体2級標準問題集第9版調査_9章解説比較

9章の解説を比較します。比較対象は、第8版。

第8版 第9版 第8版解説 第9版解説
9-3 9-1 (-) 以下変更

「一般に、構造解析の基礎となる平衡方程式は2階偏微分方程式であり、数学的にはこの方程式の解は、ディリクレ(Dirichlet)型及びノイマン(Neumann)型の2種類の境界条件を与えることで解くことができる。構造解析においては、ディリクレ型の境界条件とは、」->「有限要素法による構造解析の境界条件としては、変位境界条件と荷重境界条件がある。変位境界条件は、」

「ノイマン型の境界条件とは、」->「荷重境界条件とは、」

「負荷することに相当する。」->「負荷することである。」

「変位拘束条件を課す(ディリクレ型)境界」->「変位拘束条件を課す境界」

「表面力を負荷する(ノイマン型)境界」->「表面力を負荷する境界」

「右辺第1項も」->「右辺第1項は」

「t,bはそれぞれ」->「添え字t,bはそれぞれ」

以下追記

「解くことも多い」->「解くことも多い(問5-16、問5-17解説参照)」

以下変更

「その点のモーメントが」->「その点の反モーメントが」

9-4 9-2 (-)
9-5 9-3 (-)
9-6 9-4 (-)
9-32 9-5 (-) キーワード変更

「拘束条件」->「変位境界条件」

9-7 9-6 (-)  以下変更

「前述のように」->「問5-18~問5-20の解説に示すように」

以下追記

「ここで変位の」->「ここでtを表面力ベクトル、bを他正規力ベクトルとし」

以下変更

「低次要素」->「線形要素」2箇所

「総荷重を各節点に均等に振り分けることで等価節点荷重を求める事が出来る」->「各要素に負荷される分布荷重を、図(a)のように各要素の節点に均等に振り分け、これを重ね合わせ、(b)のように等価節点荷重を求める。」

図(a)と図(b)追加。

9-8 9-7 (-)
9-9 9-8AとBの点の位置の記述が背景薄墨から黒になり、文字が殆ど見えなくなった (-)
9-10 9-9全てのI->i、J->j、K->k。大文字->小文字 (-) 以下変更

全てのI->i、K->k。大文字->小文字

以下変更

「が得られる」->「③が正解である」

以下追記:別の解法が紹介されている。量が多いので省略。

9-11 9-10 (-) 全く同じ
9-12 9-11 (-) 全く同じ
11-13(8/13訂正) 9-12 (-) キーワード変更

「荷重条件の検証」->「荷重条件」

以下追記

「問9-7解説に示すように、①の方法では」->「①の方法では」

以下削除

「①の方法では、上辺端部の集中荷重が大きくなり」->「①の方法では、」

9-13 9-13 (-) 全く同じ
9-18 9-14 (-) 8版では問9-18単独で解説が用意されていた。

9版では、問9-14,15,16,17の解説が合体されている。

問9-18の解説文2/2は9版の解説でほぼ完全に掲載されている。解説文1/2は9版の解説の第1文に意訳して掲載されている。

9-15 9-15 (-) 基本的に同じ。

問9-16と問9-17は「題意どおり」と纏めての扱いが別々の扱いに変更。

「問9-16は回転自由度を有する対称条件」

「問9-17は反対称条件の問題であり、」

9-16 9-16
9-17 9-17
9-19 9-18 (-) 以下追記

「下面の一部」->「下面の一部(AB間)」

以下訂正

「垂直方向拘束する」->「垂直方向拘束しない」

9-20 9-19 (-) 全く同じ
9-21 9-20P(大文字)->p(小文字) (-) 以下変更

「X」->「x」

「Y」->「y」

9-24 9-21 (-) 第一段落削除(問9-14~17の解説の繰り返しになる為だと思われる)
9-26 9-22 (-) 全く同じ
9-27(2016/09/12訂正) 9-23 (-) 全く同じ
9-28 9-24
9-29 9-25
9-30 9-26
9-31 9-27 (-) 全く同じ
9-33 9-28 (-) 全く同じ
9-34 9-29
9-35 9-30
9-36 9-31
9-37 9-32大文字->小文字、U->u、V->v、Y->y、Θ->θ (-) 以下変更

「X」->「x」

「Y」->「y」

「V」->「v」

9-38 9-33大文字->小文字、Z->z (-) 以下変更

「Z」->「z」

「多点拘束」太字->標準字

9-1 5-13第2種->ノイマン、第1種->ディリクレ。8版は、第1種=Dirichlet、第2種=Neumannを明記。
9-2 5-15第1種->ディリクレ。8版は、第1種=Dirichletを明記。
9-14(対称条件) 削除
9-22(対称条件) 削除
9-23(対称条件) 削除
9-25(対称条件) 削除

S73計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-7(修正)

問2-7は問題文が第8版の問2-8から改訂された為解き直しました。

3分25秒で解きました。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「微小ひずみ」、「x, y, z座標系」、と「正しいもの」です。偏微分の変換式に基づいて歪を計算する問題です。

歪と変位の関係式を覚えていればそれで済む問題です。

\(\varepsilon_x = \frac {\partial {u}}{\partial{x}}\)ですので、uをxで偏微分すると10-3だけが残ります。この時点で選択肢は②と③だけが残ります。

②と③の選択肢で次を読むとεyの値に差が有りますのでこれを計算します。\(\varepsilon_y = \frac {\partial {v}}{\partial{y}}\)ですので、vをyで偏微分すると4×10-3だけが残ります。それを満足するのは選択肢③だけです。

解説を読んだ上での考察:

歪には工学ひずみと歪テンソルの2種類が有ります。実は第8版では、歪テンソルでの出題でした。第8版の問題文の「微小ひずみテンソルとして与えられる」が第9版では「微小ひずみとして与えられる」に変わってます。選択肢の係数も剪断歪が2倍になってます。歪テンソルは剪断歪が工学歪の1/2です。第9版では「工学歪」とはっきり書いて欲しかった処です。第9版で出題の題意が変わった理由は、恐らく有限要素法では「工学歪」が使われているからでしょう。

「計算力学 有限要素法の基礎(第2版)」竹内則雄,樫山和男,寺田賢二郎,2012,森北出版.
のp123では、確かに工学歪が使われています。

「塾長秘伝 有限要素法の学び方!―設計現場に必要なCAEの基礎知識」CAE懇話会関西解析塾テキスト編集グループ (著), 小寺 秀俊 (監修),2011,日刊工業新聞社.
のp44でも工学歪です。

他にももう1冊で確認が取れました。

S72計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-6(新規)

問2-6を解き忘れていた事に気づきましたので解きます。

6分35秒で解きました。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「平面問題」、「30度回転」、と「選択肢に『いずれでも無い』が有ること」です。変換式の係数を特定する問題です。

二次元応力の座標変換の問題です。すぐに公式集に公式が載っている事に気づきました。公式集は、試験中に参照可能です。2.2.1式が直ぐに見つかりました。

sin2θとcos2θが出てきます。cosの2倍角の公式は覚えている積りでしたが、今確認したらsinの方の式でした。でもsin30°とcos30°は覚えてます。昔図2-6-1のようにして覚えましたよね。

sincos30deg

図2-6-1

sin30°=1/2で、cos30°=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)ですね。2倍角の公式を忘れたもしくは自信が無いのであれば、図2-6-1のような図を60°に対して書きましょう。一番確実です。

先ずはσrの式のσxの係数を計算します。公式と問題と同じ方向に回転している事を先に確認します。cos230°=3/4ですね。これを満足する物は選択肢①から③のうちでは②だけです。σsのσyの係数も直ちに3/4と決まりますね。これ又②だけ正解です。同様に全てチェックして②が正解で有ると分りました。

解説を読んだ上での考察:

手早く計算出来るようにしましょう。

(2016/09/11追記)本来全ての係数を計算する必要が有りますが、急ぐ時のテクニックとして②に絞られた時点で残りのチェックは後回しにする手が有ります。

S71計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-5(新規)

問2-5を解き忘れていた事に気づきましたので解きます。

1分で解きました。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

見事に間違えました。

問題文のポイントは、「金属材料」、「公称応力-公称ひずみ曲線」、「引張試験」と「0.2%耐力」です。用語の意味を正しく表す図を特定する問題です。

では、どう考えたかを説明します。まず、簡単そうな問題なので、早く決断しなくてはと思ってました。その結果大した理由も無く、横軸上の0.2%のひずみ点から伸ばす直線(以降直線Aと呼ぶ)は縦軸に平行で無くてはならないと思いこんでしまいました。その結果真っ先に選択肢④を排除しました。

次に思ったのは、目指す交点は、直線Aと直線が公差した点でなくてはならないという事です。何となく線形弾性を思い浮かべていました。これで選択肢①を排除しました。

次に選択肢②を見ると、面積が0.2%耐力であると図から読み取れるので、面積はおかしいと思い、これも排除し、その結果選択肢③が正解であるとしました。

解説を読んだ上での考察:

ちゃんと心を落ち着けて考えようという事ですね。0.2%耐力とは、永久歪が0.2%になるような所迄塑性変形した時を降伏と見做しましょうという事ですね。永久歪ですから、一旦塑性して除荷し、荷重零の時の歪が0.2%という事です。除荷の傾きは当然ヤング率の傾きです。

S70計算力学固体2級標準問題集第9版調査_問2-4(新規)

問2-4を解き忘れていた事に気づきましたので解きます。

1分で解きました。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「金属材料」、「公称応力-公称ひずみ曲線」と「引張試験」です。図中に書くべき用語を特定する問題です。

図をほんのちらと見てから、よく似た選択肢を見比べます。Aの候補2個(引張強さ又は降伏点)を見てから、改めて図のAの位置をみます。

降伏点より引張強さの方が一般に高い応力だと思います。A はBに比べて低い応力ですので、「降伏点」に決まりです。これで正解の選択肢は③か④に絞られました。次にBの候補を見ます。選択肢③と選択肢④はいずれも「引張強さ」ですので、絞り込みは出来ません。 CとDの選択肢をちらとみます。

「破断伸び」か「一様伸び」の何れかです。「一様伸び」という言葉は聞き慣れません。「破断伸び」は図中「破断」と書いて有る場所から鉛直軸下向きに沿って直線を描くとぶつかる点にDという記号が書いてありますので、Dが「破断伸び」の場所だと考えて間違いは無いと思います。

そうすると④のみが正しいという結論に達します。

解説を読んだ上での考察:

一様伸びは引張強さに対応する公称ひずみであるそうですが、「一様」という単語は一体何が「一様」なのか分りませんね。

SE02_2016年度計算力学固体1&2級合格対策講習会のご案内

既に弊社ホームページにはご案内してますが、今年度の対策講習会の予定を決めましたので、ご案内します。

2級の標準問題集全面改訂の関係で、1級の講習会を先行して開催します。

皆様、ぜひ奮ってご参加下さい。今年は振動の講習会は開催しません(テキスト作成の準備は開始しましたが)。

開催日 講習会名称 開催場所
9月20日(火) 日本機械学会 計算力学技術者1級(固体力学分野) 合格対策第1回 (株)インサイト会議室
10月19日(水) 日本機械学会 計算力学技術者2級(固体力学分野) 合格対策第1回 (株)インサイト会議室
10月24日(月) 日本機械学会 計算力学技術者1級(固体力学分野) 合格対策第2回 (株)インサイト会議室
11月2日(水) 日本機械学会 計算力学技術者2級(固体力学分野) 合格対策第2回 (株)インサイト会議室
11月16日(水) 日本機械学会 計算力学技術者2級(固体力学分野) 合格対策第3回 (株)インサイト会議室
11月21日(月) 日本機械学会 計算力学技術者1級(固体力学分野) 合格対策第3回 (株)インサイト会議室
11月25日(金) 日本機械学会 計算力学技術者2級(固体力学分野) 合格対策第4回 (株)インサイト会議室
11月28日(月) 日本機械学会 計算力学技術者1級(固体力学分野) 合格対策第4回 (株)インサイト会議室
12月5日(月) 日本機械学会 計算力学技術者1級(固体力学分野) 合格対策第5回 (株)インサイト会議室
12月7日(水) 日本機械学会 計算力学技術者2級(固体力学分野) 合格対策補講 (株)インサイト会議室
12月8日(木) 日本機械学会 計算力学技術者1級(固体力学分野) 合格対策補講 (株)インサイト会議室

S68計算力学固体2級標準問題集第9版調査_4章問題索引

4章の問題の索引です。第8版は関係有りません。

この章に参考となる書籍を紹介します。

(1)「<解析塾秘伝>有限要素法のつくり方! -FEMプログラミングの手順とノウハウ-」石川博幸,青木伸輔,日比学,2014,日刊工業新聞社.

(2)「計算力学 有限要素法の基礎(第2版)」竹内則雄,樫山和男,寺田賢二郎,2012,森北出版.

項目 ページ 参考書籍での扱いページ
3節点三角形要素 44
FEM 36 (2)4
一次微分 44
一次要素 43
エネルギー原理 39
エネルギー方程式 42
応力-歪関係式 41 (2)123
応力-歪関係式 42 (2)123
応力-歪関係式 46 (2)123
応力-歪マトリックス 42 (1)3
応力-歪マトリックス 45 (1)3
応力-歪マトリックス 46 (1)3
応力法 39
重み 36
重み関数 42 (2)74
重み付き残差法 36 (2)74
重み付き残差法 42 (2)74
外力 40
ガウス・ザイデル法 36 (2)208
荷重の釣合い式 40
荷重ベクトル 49 (2)54,63
仮想仕事の原理 39
仮想仕事の原理 40
仮想仕事の原理 41
仮想仕事の原理 42
仮想歪 42
仮想変位 40
仮想変位 41
仮想変位 42
ガラーキン法 36 (2)76,156
幾何学的境界条件 49 (2)35,124
既知 49
境界条件-拘束 49
境界条件-表面力 41
境界条件-表面力 49
境界条件-変位 41
境界条件-変位 42
強形式 36 (2)80
強制変位 37
近似解 36 (2)70
近似解 39 (2)70
近似方程式 36
形状関数 43 (1)18,19,113,117,142,(2)87,107,131,218
形状関数 44 (1)18,19,113,117,142,(2)87,107,131,218
形状関数 45 (1)18,19,113,117,142,(2)87,107,131,218
構成方程式 42 (1)8(構成式)
剛性方程式 47 (2)54
剛性マトリックス 44
剛性マトリックス 48
構造問題 48
構造問題 49
降伏応力 45
誤差 36
コンプリメンタリエネルギー 38
最小ポテンシャルエネルギーの原理 39
最小ポテンシャルエネルギーの原理 36
材料定数 45
差分法 36 (2)4,5,150
三角形要素 50
仕事-体積力のなす 42
仕事-表面力のなす 42
質量保存式 42 (2)28(質量保存則)
支配方程式 36
四面体要素 50
重心 50
自由度 48 (1)32,(2)48
自由度 50 (1)32,(2)48
初期応力 42
初期歪 42
垂直歪 44
静的線形弾性問題 42
積分 44
節点変位 39
節点変位 43
線形三角形要素 45 (2)130
線形弾性体 38
剪断歪 44 (2)32
ソリッド要素 44
対角項 48 (2)14
対称-マトリックス 48 (2)15(対称行列)
体積座標 50
体積中心 50
体積力 41
縦弾性係数 37
縦弾性係数 40
縦弾性係数 45
縦弾性係数 46
釣合い状態 40
釣合い方程式 41 (2)31
釣合い方程式 42 (2)31
定式化 36
定式化 39
等価節点力ベクトル 49
等価節点力 39 (1)176,(2)136
等価節点力 42 (1)176,(2)136
等方弾性体 45 (2)32
等方弾性体 46 (2)32
トラス構造 40 (2)56
トラス構造 50 (2)56
内力 40
二次元弾性問題 38
二次元弾性問題 44
二次元弾性問題 45
二次元弾性問題 46
熱流束 42 (2)37
ばね系 49
ばね定数 39 (2)47
汎関数 36
歪-変位関係式 41 (2)123
歪-変位関係式 42 (2)123
歪-変位マトリックス 42
歪-変位マトリックス 44
歪-変位マトリックス 45
歪エネルギー 37
歪エネルギー 38
歪エネルギー 40
非零成分 48
非線形弾性体 38
非対称-マトリックス 48
微分方程式 36
微分方程式 39
表面力 42 (1)176,(2)35,123,124
部材 40 (2)47
フックの法則 42
部分積分 36
平面応力状態 46 (1)11,94,160,217(平面応力)(2)33,123
平面歪 46 (1)11,94,160,219,(2)34,123
変位 44 (2)47
変位ベクトル 45 (2)54
変位ベクトル 49 (2)54
変位ベクトル 50 (2)54
変位法 39 (2)50,56,129
偏微分方程式 36
変分 39
変分原理 36
ポアソン比 45 (1)9,14,33,160,(2)33,124
ポアソン比 46 (1)9,14,33,160,(2)33,124
補仮想仕事の原理 39
ポテンシャルエネルギー 38
ポテンシャルエネルギー 39
ポテンシャルエネルギー 40
マトリックス代数 39
未知数 39
未知数 50
メモリ容量 36
面積座標 50 (2)157
有限要素法 36 (2)4,6,87,150
有限要素法 39 (2)4,6,87,150
有限要素法 48 (2)4,6,87,150
要素 43 (1)2,(2)6,11,87,104
要素剛性マトリックス 49 (1)6,48,108,128,140,154,(2)134(要素剛性行列)
力学的境界条件 49 (2)35,125
離散化 36 (2)4,74
領域 36
レイリー・リッツ法 36
連続体 36
連続体 39
連立一次方程式 39

V2計算力学振動2級標準問題集第3版調査_本書の使い方

「本書の使い方」を読みます。

「計算力学技術者2級(振動分野の有限要素法解析技術者)」の認定試験の「想定問題」と書いて有りますね。

「試験問題の設問形式は、この問題集に記載されている設問形式と同様な方法が取られます。」
とも書いて有ります。

分野を固体と比較してみます。

振動(3版) 固体(9版)
1 計算力学のための数学の基礎 同左
2 動力学の基礎 固体力学の基礎
3 材料力学の基礎 熱伝導の基礎
4 振動工学及び音響工学の基礎 有限要素法の定式化
5 有限要素法の基礎 有限要素法の実践
6 要素の選択・メッシング 数値計算法の基礎
7 モデリングの基礎 要素テクノロジーの基礎
8 境界条件及び荷重条件 モデリングの基礎
9 数値計算法の基礎 境界条件の使い方の基礎
10 ポスト処理の基礎 プレポスト処理の基礎
11 結果検証の基礎 同左
12 コンピュータの基礎 同左
13 計算力学技術者倫理 計算力学技術者倫理

章番号は違っても対応関係が有る章も有ります。

端的な違いは、以下の通りです。

(1)動力学と固体力学の違い。
(2)振動では、材料力学に1章を割いている、固体では熱伝導に1章を割いている。
(3)振動では音響工学も対象としている。

S67計算力学固体2級標準問題集第9版調査_8章解説比較

8章の解説を比較します。

第8版 第9版 第8版解説 第9版解説
8-1(新規)解析の目的
8-3 8-2 (-) 全く同じ
8-4 8-3 (-) 全く同じ
8-5 8-4 (-) 全く同じ
8-6 8-5 (-) 全く同じ
8-7 8-6 (-) 全く同じ
8-8 8-7 (-) 全く同じ
8-9 8-8 (-) 全く同じ
8-11 8-9 (-) 全く同じ
8-12 8-10 (-) 全く同じ
8-13 8-11 (-) 全く同じ
8-14 8-12 (-) 全く同じ
8-15 8-13 (-) 全く同じ
8-16 8-14 (-) 全く同じ
8-17 8-15 (-) 全く同じ
8-18 8-16 (-) 全く同じ
8-19 8-17 (-) 全く同じ
8-20 8-18 (-) 全く同じ
8-21 8-19 (-) 全く同じ
8-22 8-20 (-) 全く同じ
8-23 8-21 (-) 全く同じ
8-24 8-22 (-) 全く同じ
8-10 8-23 (-) ④の選択肢についての説明が詳細化された。

「荷重を非軸対称として扱うため」->「荷重(非軸対称荷重)をフーリエ級数展開する方法である。重ね合わせる事により結果が得られるため」

更にフーリエ級数について式を用いた説明を追記した。

8-24(新規)応力-ひずみ関係
8-25(新規)直交異方性
7-18 8-26 (-) 以下変更

「ヤング率」->「縦弾性係数」

「剪断弾性係数」->「横弾性係数」

8-27(新規)トラスモデル
8-28(新規)はりモデル
8-29(新規)平面応力、平面ひずみ、軸対称
8-1 8-30 (-) 全く同じ
8-2 8-31 (-) 全く同じ
8-32(新規)軸対称

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