3章には新規問題は有りませんでしたので、4章に進みます。

約1分掛かりました。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
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問題文のポイントは、「重み付き残差法」及び「正しいもの」です。

重み付き残差法について100%確実に覚えているという自信は有りませんが、大体は覚えている積りです。

選択肢を上から順に見て行きます。

当たり前ですが、正しい物は1つだけです。

選択肢①は「最少ポテンシャルエネルギーの原理」が間違っていると思います。選択肢②は「汎関数」が間違っていると思います。選択肢③は良さそうです。「微分方程式」が不要な訳が無いですから。選択肢④は途中まで凄く良さそうです。しかし最後の1節が駄目ですね。強形式では有りません。

回答は選択肢③です。

解説を読んだ上での考察:

解説で重要な点は、「重み付き残差法は、微分方程式に直接取り組むものであり、固体力学以外の分野等で変分原理が成立しない問題に対しても適用可能である」だと思います。

試験として出題される場合は、採点するという性格上実務に必要な知識という観点では無く、何が正しく、何が間違っているという判断力が重視されます。

従って異なる手法の特徴を比較した纏めの表を作ると良いと思います。

50秒掛かりました。
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問題文のポイントは、「材料試験」及び「金属材料」です。

問題文を読んだだけでは、すぐに題意が掴めませんでした。グループBは、試験で評価する項目という事だと思いますが、問題文にはそこに言及して無くて、グループAとグループBのリストを見比べて初めて気付きます。

これは本当に知識だけの問題ですね。シャルピーは破壊力学をやっている人なら知っていると思いますが、3つの試験の中では一番知名度が低いですね。ビッカースは設計者にも確実に必要な知識です。クリープも知名度は高いですね。

解説を読んだ上での考察:

特に追加コメントは有りません。

35秒掛かりました。
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問題文のポイントは、「脆性材料」、「延性材料」及び「多軸応力状態」です。

反射的に延性材料の破壊判定基準はミーゼス応力と浮かびます。この時点で選択肢②しか残りません。

解説を読んだ上での考察:

特に追加コメントは有りません。

85秒掛かりました。
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問題文のポイントは、「フリーボディダイアグラム」と「力は下向きを正とする」です。

問題文では明示されてませんが、「釣合い」が大事な概念です。二次元ですから、鉛直方向、水平方向及び回転の3つの釣り合いが満足されます。この問題は水平力が有りませんので、式は二つで済みます。ちゃんと式を2つ立てると正しく解けるのは分ってますが、少しでも短時間で解きたくなります。

正しいフリーボディダイアグラムが既に問題中に表示されているのが重要です。

鉛直荷重2つと反力の和が零ですから、反力R_Dの値は正の向きを考慮すると-(1000+1500)=-2500だと分ります。この時点で選択肢④は正解の可能性が無くなりました。

次にモーメントですが、点Dの回りのモーメントを考えると楽です。即ち1000x(4+4)+1500×4=8000+6000=14000です。モーメントが一致するのは、③か④ですが、既に④の可能性は排除されてますので、回答は③です。

解説を読んだ上での考察:

特に追加コメントは有りません。

75秒掛かりました。
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問題文のポイントは、「フリーボディダイアグラム」と「両端支持ばり」です。

問題文では明示されてませんが、「釣り合い」が大事な概念です。二次元ですから、鉛直方向、水平方向及び回転の3つの釣り合いが満足されます。この問題は水平力が有りませんので、式は二つで済みます。ちゃんと式を2つ立てると正しく解けるのは分ってますが、少しでも短時間で解きたくなります。

4つの選択肢を全部眺めますと、選択肢④だけが左右両端にモーメントの記号が描いて有ります。しかし、問題文では、「両端支持ばり」でした。この用語は知らないと「支持」という単語が持つ重要な意味が分からないと思います。「支持」とはモーメントを伝えないという意味なのです。それは問題文の図を見ても分ります。三角形の支点の頂点に接するように梁が乗っているのがその証拠です。

選択肢④は左右両端でモーメントが掛かっているように描いて有りますので、間違いです。

では残り3つの選択肢を見てみましょう。問題文の図より、支持点は左右が対称です。しかし、荷重点は、AB:BC=1:2です。選択肢①は反力が左右均等になっていますが、それは有り得ません。選択肢②は反力の比がA:C =2:1で、選択肢③は反力比がA:C=1:2です。常識的に考えて荷重点はAよりなので、Aの反力はCの反力より大きくなる筈です。従って回答は②です。

解説を読んだ上での考察:

解説では、A点回りのモーメントの釣合いを考えていますが、B点回りのモーメントの釣合いを考える事も可能です。モーメントの釣合いの中心点は任意の位置の取っても良いからです。すると、

R_Axℓ/3 = R_Cx2ℓ/3

が成り立ちます。この式にはFを含みませんので、両辺に3/ℓを掛けると、

R_A = 2R_C

が得られます。選択肢の中から正解を決めるのにはこれで十分です。

7分掛かりました。
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問題文のポイントは、「フリーボディダイアグラム」と「仮想的に切断し」です。

問題文では明示されてませんが、「釣り合い」が大事な概念です。二次元ですから、鉛直方向、水平方向及び回転の3つの釣り合いが満足されます。又、「釣り合いは着目した物体について考える」事が肝要です。今回「着目した物体」は支点であり、大きさを持たない(下で訂正しているので注意)ので、回転の釣り合いを考慮する必要は有りません。従って導ける式は2つです。

先ず鉛直方向の釣り合いを考えます。問題文の図には30°と60°と書いて有りますが、どうみても30°と60°では有りませんね。どこに書いて有ったか忘れましたが、図はなるべく寸法に中実に描く事という教訓が有りましたね。この問題は謂わば、誤解させたくてわざと、角度を不正確に描いていると思います。

手早く式を書くには、三角関数を一旦書いたりしない方が良いと思います。兎に角図を描きます。先ずはS₁の鉛直成分を考えます。天井に向かって正とします。30°ですから、図2-27-1のように描きます。

図2-27-1 S₁の鉛直成分

従ってS₁の係数は1/2。次にS₂の成分を図2-27-2に示します。

図2-27-2 S₁の鉛直成分

従ってS₂の係数は、(3)^1/2/2。Pは鉛直下向きですので、その係数は-1となります。釣り合い式は全部を足して零ですから、

(1/2)S₁+((3)^1/2/2)S₂-P=0　　　(2-27-1)

偶々ですが、鉛直成分を先に考えた為、選択肢は④一つに絞られました。回答は④です。

でも一応水平成分も考えておきましょう。水平は右向きを正とします。先ずはS₁の水平成分を考えます。図2-27-1を使って考えましょう。係数は-(3)^1/2/2ですね。次にS₂の成分を図2-27-2を使って考えます。係数は1/2ですね。Pは水平成分は零ですので、項としては現れません。従って釣り合い式は、

-((3)^1/2/2)S₁+(1/2)S₂=0　　　(2-27-2)

この式は選択肢④の式ですので、回答は④で間違いありません。

解説を読んだ上での考察:

私の勘違いが有りました。上で、

「今回「着目した物体」は支点であり、大きさを持たないので、回転の釣り合いを考慮する必要は有りません。」

と書きましたが、問題に示された図を見ると、仮想切断線は支点から離れていますので、「着目した物体」は、支点から仮想切断線迄の部材を含んでいます。従って大きさを持ちます。

解説に示されているように「ピン結合されているのでモーメントは生じない為、力のモーメントの釣合い式は不要である。」と理解すべきですね。

11分掛かりました。
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問題文のポイントは、「主応力」と「正しいものはどれか」です。

3次元の主応力の公式は公式集に掲載されているだろうと思い、直ぐに探しに行きました。有りました。2.3.3の主応力の式に既知の応力成分を代入して行きます。

-σ³+(σ_x+σ_y+σ_z)σ²-(σ_yσ_z+σ_zσ_x+σ_xσ_y-τ_xy²-τ_yz²-τ_zx²)σ+σ_xσ_yσ_z-σ_xτ_yz²-σ_yτ_zx²-σ_zτ_xy²+2τ_xyτ_yzτ_zx=0　　(2.3.3)

与えられた数値を代入します。

-σ³+(0+0+0)σ²-(0+0+0-1-1-1)σ+0-0-0-0+2x1x1x1=0

-σ³+3σ+2=0

σ³-3σ-2=0　　　(2-19-1)

因数分解したい所ですが、思い付きません。

考え方を変えて、選択肢①からσに代入して行きます。

先ずは選択肢①のσ₁=3

3³-3×3-2=27-9-2=16≠0

駄目です。

選択肢②のσ₁=2

2³-3×2-2=8-6-2=0

これは解です。

同じくσ₂=σ₃=-1も確認します。

(-1)³-3x(-1)-2=-1+3-2=0

こちらも解です。

よって②が正解。三次式の場合、解は高々3個なので、他の選択肢は確認不要です。

解説を読んだ上での考察:

解説ではあっさり因数分解してます。3次式の因数分解ってどうやってやるんだろうと思いました。

ネットで検索したら、「因数定理」という物が有るようです。その昔勉強したんでしょうね。因数分解がさっと出来れば、全部の選択肢を試さなくても良い分、私の計算方法より若干早そうです。

因数定理をネットで調べて見ました。以下に分り易い説明が有ります。

http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/factor.htm

ポイントは、xの多項式 f(x)に対して、f(a)=0 を満たすaが存在すればf(x)は(x-a)を因数に持つ。更にaの候補は定数項の約数である。

今式(2-19-1)に於いて定数項は、-2ですから、1,2,-1,-2が候補です。選択肢②で示したように、2を代入すると式が零になりますから、(σ-2)の因数が有ります。

(2-19-1)の左辺を変形して、無理やり(σ-2)を作ります。

σ³-3σ-2 = (σ-2)σ²+2σ²-3σ-2= (σ-2)σ²+2σ²-4σ+σ-2=(σ-2)σ²+2σ(σ-2)+(σ-2)=(σ-2)(σ²+2σ+1)

此処迄来れば、後は簡単な2次式の因数分解だけです。

(σ-2)(σ²+2σ+1)=(σ-2)(σ+1)²=0　　　(2-19-2)

本当に速いかどうかは微妙ですが、純粋な暗記に頼らない色んな手法を知っておく事は大事です。

5分半で諦めました。
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問題文のポイントは、「平面問題」、「主応力」と「主応力方向」です。

最初に思いついたのは座標変換の式の事でした。式自体は覚えていませんでした。次に思いついたのは、「確か主応力は固有値を求めるんだったなあ」という事です。しかしその式の導出も無理です。

次にMohrの応力円を思いつきました。これだと朧げな知識でも何とかなりそうな気がしました。問題文を元に図2-18-1を描きました。

図2-18-1 解説を読む前に描いたMohrの応力円らしき物

最初に左の小さい円を描きました。横軸が垂直応力σ、縦軸が剪断応力τというのは覚えていました。σx=4とσy=2が円の直径となるように、かつ円の最も高い点のτの値がτxy=2に等しくなるようにしました。しかしどうもしっくり来ません。最大主応力σ₁を一体どうやって決めるのでしょう。

今度は右の大きい円を描きました。σy=2とσx+σy=2+4=6で直径を作り、かつ円の最も高い点のτの値がτxy=2に等しくなるようにしました。やはり何だか変です。

ここで諦めました。

解説を読んだ上での考察:

解説では公式集に掲載されている平面応力状態での最大主応力を求める式に言及しています。

この公式集は「試験問題にも添付され、試験中に参照出来る」と標準問題集の付録の冒頭に書かれています。しかし、この式が公式問題集に書かれている事を覚えておく必要が有ります。公式集を見る事自体を思い付か無かったら悲しいです。

この公式が添付されていればMohrの応力円の出番は無さそうですね。

念の為、公式の代入にどれぐらいの時間が掛かるかやって見ましょう。平方根の記法が見づらいので、()^1/2と表記しました。

σ₁=(σx+σy)/2+(((σx-σy)/2)²+τxy²)^1/2=(4+2)/2+(((4-2)/2)²+2²)^1/2=3+(1+4)^1/2 = 3+(5)^1/2

これで直ちに選択肢①が該当する事が分ります。しかし、これでは十分では有りません。

選択肢④:①～③のいずれでも無い

が有りますので、主応力方向とx軸の成す角ω₁が正しいかどうかも判定しないと回答が確定しません。

ω₁の回答の式を見ていると、tan2ω₁とtanω₁との関係式

tan(2ω₁)=2tan(ω₁)/(1-tan²(ω₁))   (2-18-1)

を利用しています。残念ながら、この式は、公式集には掲載されておりません。暗記するか、知っている他の公式から導く必要が有ります。出来れば暗記しなくて済むといいですね。

Mohrの応力円の出番は無さそうと一旦は書きましたが、ω₁をMohrの応力円で求めて見ましょう。

Mohrの応力円の描き方については、

http://jikosoft.com/cae/engineering/strmat05-2.html

を参照しました。図2-18-2に自分で描いたMohrの応力円を示します。

図2-18-2 解説を読む前に描いたMohrの応力円らしき物

σ-τ空間に(σx=4, τxy=2)と(σy=2, -τxy=-4)の2点を打ちます。それらを直線で結ぶと横軸と(σx+σy)/2で交差します。2点を結ぶ線分が直径と成ります。この直線と横軸の交差する角度が2ω₁です。tan(2ω₁)=(2-0)/(4-3)= 2です。tan(ω₁)の正確な値を求めるのは、やはり式(2-18-1)を暗記するしか無いのかと一瞬思いますが、大体の値で良ければ、図2-18-2を見れば、tan(ω₁)は凡そ0.5だと言う事が分ります。選択肢①のtan(ω₁)は(2.236-1)/2=0.618。

選択肢④の可能性も相変わらず残りますが、公式を忘れてしまった時でも諦めずに正解を追い求めましょうと言う話です。

正攻法はやはり2倍角の定理を暗記する事ですね。

所要時間は2分以内でした。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「2階微分f”」と「中央差分」です。後、選択肢を見ると右辺式の分母が2hの物とh²の物が有ります。

「2階微分f”」を、見事に見落としておりました。「1階微分」と思い込んでおり、分母が2hの物にのみ着目しておりました。解説を読んで初めてその事に気付きました。しかし「2階微分」に気づいていたとしても正解に辿り着けたかどうかは怪しいですね。

当然回答は間違っておりました。

解説を読んだ上での考察:

テイラー展開が出て来ます。f(x)のテイラー展開は普通「x=aの回りに」とか言う表現が必ず出て来たように思います。しかし今回の問題文には、解説にもそのような表現は出て来ません。その疑問を解くのは時間がかかりそうですので、一旦保留としておいて先に進みましょう。

O(h³)やO(h)という表現も出てきます。どうもこれは「ランダウの記号(別名オーダー記法)」と呼ぶらしいです。更に大文字のOと小文字のoと二種類有るようです。

話が少し脱線しますが、現在のインターネット時代は、このような調べものが数分で終わりますので、初学者に取っては天国のような時代ですね。その昔私が大学の1-2年生の頃は、教科書にしか書いてないし、しかもどの本を見れば書いて有るかどうかも分りませんでしたので、何となく曖昧な儘で終わらせました。小さな事ですが、こう言う事が勉学の意欲を削いだ物です。講義を担当している先生に聞けば良かったのですしょうが、何故か聞いた記憶が有りません。

話を元に戻します。以下のURLの方がWikipediaの「ランダウの記号」の項の説明より分り易いです。

解説で式(1)と式(2)を足してます。途中経過を補います。

f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h²f”(x)+ 2 O(h⁴)      (3)

O(h⁴)の定数倍の差は無視するので、

f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h²f”(x)+ O(h⁴)  (4)

更に移項して、

h²f”(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)-O(h⁴) (5)

-O(h4)の定数倍の差は無視するので、

h²f”(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)+O(h⁴) (6)

両辺をh²で割ると、

f”(x)=(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h²+O(h⁴)/h² (7)

参考サイトにOの外から乗除した変数をOの中に入れても良いような式変形を見つけたので、それを施して解説の式に辿り着きました。

f”(x)=(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h²+O(h²) (8)

今のは正攻法ですが、選択肢③と選択肢④から素早く正解を見つける方法について考えて見ましょう。③と④との違いは只一つ。f(x)の係数が-1か-2かです。

選択肢から逆向きに式変形をすると良いかも知れません。

④の両辺にh²を掛けます。

h²f”(x) ≒f(x+h)-2f(x)+f(x-h)={f(x+h)-f(x)} + {f(x-h)-f(x)}

{f(x+h)+f(x-h)}={f(x)+h²f”(x)/2}+{f(x)+h²f”(x)/2}

③の両辺にh²を掛けます。

h²f”(x) ≒f(x+h)-f(x)+f(x-h)={f(x+h)-f(x)/2} + {f(x-h)-f(x)/2}

{f(x+h)+f(x-h)}={f(x)/2+h²f”(x)/2}+{f(x)/2+h²f”(x)/2}

するとTayler展開の時のf(x)の係数を覚えておくという話になります。

良く覚えておきましょう。